Integrale indefinito ...?

Possiamo scrivere x*cos(x^2) come 1/2 * [2x*cos(x^2)]

2x*cos(x^2) è il prodotto tra il coseno e la derivata dell'argomento, per cui l'integrale sarà semplicemente sin(x^2). Dunque l'integrale di x*cos(x^2) è pari a 1/2*sin(x^2) + costante.

Passiamo al logaritmo.

x^2-5x+6 può essere fattorizzato come (x-3)(x-2) e poichè il logaritmo di un prodotto è pari alla somma dei logaritmi dei singoli fattori possiamo scrivere log(x^2-5x+6) = log(x-3)+log(x-2)

Calcolo l'integrale di log(x-3) integrando per parti:

log(x-3) = (x-3)' * log(x-3)

integrale[log(x-3)]dx = (x-3)*log(x-3) - integrale[(x-3) * 1/(x-3)]dx = (x-3)*log(x-3) - x + costante

Con lo stesso procedimento ottengo

integrale[log(x-2)]dx = (x-2)*log(x-2) - x + costante

Riassumendo:

integrale[x*cos(x^2)+5log(x^2 - 5x +6)]dx =

= 1/2*sin(x^2) + 5*[(x-2)*log(x-2) + (x-3)*log(x-3) - 2x] + costante

Per Arnaldo: la tua soluzione è sbagliata perché hai derivato i logaritmi aziché integrarli!

Per aquadro4: la derivata di 5/2*[log^2(x^2 -5x +6)] è

5 * log(x^2-5x+6) * (2x-5), quindi il tuo risultato non torna

Io avrei fatto così:

I = I1 + I2

ove:

I1 = Int [x. cos (x^2).dx

I2 = Int [5 log (x^2 -5x +6)] dx

Ora: integrando I1 per parti con f(x) = x e g(x)= cos (x^2)

I1 = Int [1/2 . cos (x^2) d(x)^2]

Posto y = x^2

I1 = 1/2 . Int [cos y] dy = 1/2 sen y = 1/2 sen (x)^2

I2 = 5 Int [log (x^2 -5x +6)] dx

ma risolvendo l'equazione (x^2 -5x +6) = 0

si trovano le radici; 2 e 3

Per cui si può scrivere: (x^2 -5x +6) = (x - 2)(x- 3)

Ma il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi dei fattori per cui:

log [(x^2 -5x +6)] = log [(x - 2)(x -3)] = log (x -2) + log (x - 3)

Allora :

I2 = 5 Int [log (x^2 -5x +6)] dx = 5 . Int [log (x - 2) + log (x -3)] dx

I2 = 5 . Int [log (x - 2) + 5 . Int [log (x -3)] dx

I2 = 5 . [1/(x -2) + 1/ (x -3)] = 5 . ( x - 3 + x - 2) / (x - 2)(x- 3) = 5 . (2x - 5) / (x - 2)(x- 3)

I = I1 + I2 = 1/2 sen (x)^2 + 5. (2x - 5) / (x - 2)(x- 3)